Du ska inte använda "pensel" utan "kalkborste".

Är det lite höjd på uthuset så kan det vara praktiskt med kalkborste på skaft. Jo, det stänker och skvätter, så du kan behöva täcka sådant som du är rädd om. Det härliga med att kalka är ju att det går undan, så jag har aldrig upplevt något behov av att spruta! Man borstar i stora halvmåneformade tag som går på kryss med varandra. Lite träningsvärk i arm och axel är bara nyttigt
Såvitt jag har begripit kan man spruta kalkvattnet (alltså det genomskinliga vatten som man använder för att förvattna och eftervattna väggen. ( Jag har läst om detta någonstans, eventuellt på Målarkalks hemsida. ) Däremot har jag ingenstans läst att man skulle kunna spruta själva kalkmjölken. Den slags spruta som du nämner tror jag inte alls på. Har en sådan själv. Rymmer för lite, jobbigt att pumpa upp och troligtvis kommer munstycket att sättas igen av kalken. Kalken räknas ju som ett slags slamfärg, så möjligtvis om det skulle funka med samma slags spruta och munstycke som används för att spruta ladugårdar med Falu rödfärg. Motordriven spruta med specialmunstycke.
Dock skulle jag i ditt läge helt enkelt ha ringt till Målarkalks kuntjänst och frågat. Jag har alltid fått mycket bra info därifrån när jag undrat över något.